Question

已知：如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．求证：BE²=EF•EG．

Answer

先连接CE，由于AB=AC，AD⊥BC，利用等腰三角形三线合一定理可得BE=CE，再利用等边对等角可知∠EBC=∠ECB，易证∠ABE=∠ACE，结合CG∥AB，利用平行线的性质，可证∠CGF=∠FCE，再加上一组公共角，可证△CEF∽△GEC，于是CE2=EF•EG，从而有BE2=EF•EG．
证明：连接CE，如右图所示，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD是∠BAC的角平分线，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
又∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC-∠EBC=∠ACB-∠ECB，
即∠ABE=∠ACE，
又∵CG∥AB，
∴∠ABE=∠CGF，
∴∠CGF=∠FCE，
又∠FEC=∠CEG，
∴△CEF∽△GEC，
∴CE：EF=EG：CE，
即CE2=EF•EG，
又CE=BE，
∴BE2=EF•EG．