Question

已知：△ABC中，∠BAC=120°，D、E在BC上（D在B、E之间），且∠DAE=60°，AD=AE．求证：
（1）DE²=BD•CE；
（2）AB²=BD•BC．

Answer

（1）利用∠DAE=60°，AD=AE，易证△ADE是等边三角形，结合等边三角形的性质及三角形外角性质易证∠ADB=∠CEA=120°，∠B=∠EAC，从而可证△ABD∽△CAE，于是=，而AD=DE=AE，从而可证DE2=BD•CE；
（2）由于∠B=∠B，∠BDA=∠BAC=120°，易证△ABD∽△CBA，从而有=，那么有AB2=BD•BC．
证明：如右图所示，
（1）∵∠DAE=60°，AD=AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=DE=AE，∠ADE=∠DEA=∠DAE=60°，
∴∠ADB=∠CEA=120°，
又∵∠BAC=120°，∠ADE=∠B+∠BAD，
∴∠B+∠BAD=∠BAD+∠EAC=60°，
∴∠B=∠EAC，
∴△ABD∽△CAE，
∴=，
又∵AD=DE=AE，
∴DE2=BD•CE；

（2）∵∠B=∠B，∠BDA=∠BAC=120°，
∴△ABD∽△CBA，
∴=，
∴AB2=BD•BC．