Question

如图，在矩形ABCD中，AN⊥BD，N为垂足，NF⊥CD，NE⊥BC，垂足分别为E、F．
求证：AN³=BD•BE•DF．

Answer

根据射影定理得AN2=DN•BN，再利用矩形ABCD中，AN⊥BD，NE⊥BC，分别求证△AND∽△DFN，△BNE∽△DBA，然后利用相似三角形对应边成比例和等量代换即可证明．
证明：∵AN⊥BD，
∴∠BAD=90°，
∴AN2=DN•BN，
∵矩形ABCD中，AN⊥BD，
∴△AND∽△DFN，
∴=，AN=•DF，
∴AN3=DN•BN••DF=BN•AD•DF，
∵矩形ABCD中，NE⊥BC，
∴△BNE∽△DBA，
∴=，即BN•AD=BD•BE，
∴AN3=BD•BE•DF．