Question

已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M是BC的中点，CN⊥AM，垂足是N，求证：AB•BM=AM•BN．

Answer

根据在△ABC中，∠ACB=90°，M是BC的中点，CN⊥AM，得出△MNC∽△MCA，再证明△MBN∽△MAB，利用对应边成比例即可解题．
证明：在Rt△ACM中，CN⊥AM，
∴∠CMN=∠AMC，∠MNC=∠MCA=90°
∴△MNC∽△MCA，
∴=，
∴MC2=MN•MA，
∵M是BC的中点
∴BM=CM，
∴BM2=MN•MA，
=，
又∵∠BMN=∠AMB，
∴△MBN∽△MAB，
∴=，
∴AB•BM=AM•BN．