Question

如图，△ABC中，AB=AC，∠A=90°，AE=AC，BD=AB．求证：∠ADE=∠EBC．

Answer

设AE=x，由于AB=AC，∠A=90°，AE=AC，BD=AB，那么AB=AC=3x，CE=AD=2x，BD=AE=x，利用勾股定理可求DE、BE、BC，易求cos∠ADE，在△CBE中，利用余弦定理可求cos∠CBE，从而有cos∠ADE=cos∠CBE，即∠ADE=∠CBE．
【解析】
如右图所示，设AE=x，
∵AB=AC，∠A=90°，AE=AC，BD=AB，
∴AB=AC=3x，CE=AD=2x，BD=AE=x，
∴DE==x，
BE==x，
BC==3x，
∴cos∠ADE==，
在△CBE中，cos∠CBE==，
∴cos∠ADE=cos∠CBE，
∴∠ADE=∠CBE．