Question

两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中一定正确的是    ．

Answer

设A（x1，y1），B（x2，y2），而A、B两点都在的图象上，故有x1y1=x2y2=1，而S△ODB=×BD×OD=x2y2=，S△OCA=×OC×AC=x1y1=，故①正确；
由A、B两点坐标可知P（x1，y2），P点在的图象上，故S矩形OCPD=OC×PD=x1y2=k，根据S四边形PAOB=S矩形OCPD-S△ODB-S△OCA，计算结果，故②正确；
由已知得x1y2=k，即x1•=k，即x1=kx2，由A、B、P三点坐标可知PA=y2-y1=-=，PB=x1-x2，=（k-1）x2，故③错误；
当点A是PC的中点时，y2=2y1，代入x1y2=k中，得2x1y1=k，故k=2，代入x1=kx2中，得x1=2x2，可知④正确．
【解析】
（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1y1=x2y2=1，
∵S△ODB=×BD×OD=x2y2=，S△OCA=×OC×AC=x1y1=，故①正确；

（2）由已知，得P（x1，y2），
∵P点在的图象上，
∴S矩形OCPD=OC×PD=x1y2=k，
∴S四边形PAOB=S矩形OCPD-S△ODB-S△OCA=k--=k-1，故②正确；

（3）由已知得x1y2=k，即x1•=k，
∴x1=kx2，
根据题意，得PA=y2-y1=-=，PB=x1-x2，=（k-1）x2，故③错误；

（4）当点A是PC的中点时，y2=2y1，
代入x1y2=k中，得2x1y1=k，
∴k=2，
代入x1=kx2中，得x1=2x2，故④正确．

故本题答案为：①②④．