Question

已知关于x的方程kx²-6x+9=0
（1）当k取何值时，原方程有两个相等的实数根、并求此时的根；
（2）当k取何值时，原方程有两个不相等的实数根；
（3）当k取何值时，原方程有实数根．

Answer

（1）当k≠0且△=62-4×9×k=0，原方程有两个相等的实数根，解关于k的方程求出k的值，然后代入原方程，解方程求根即可；
（2）当k≠0且△=62-4×9×k＞0，原方程有两个不相等的实数根，解两个不等式确定k的范围；
（3）分类讨论：当k=0，原方程变为-6x+9=0，此方程有实根；当k≠0且△=62-4×9×k≥0，原方程为一元二次方程有实根，解两个不等式确定k的范围．最后综合两种情况确定k的范围．
【解析】
（1）当k≠0且△=62-4×9×k=0，原方程有两个相等的实数根，
即k=1，方程变为x2-6x+9=0，解方程得x1=x2=3．
所以当k=1，原方程有两个相等的实数根、此时的根为x1=x2=3．
（2）当k≠0且△=62-4×9×k＞0，原方程有两个不相等的实数根，即k＜1且k≠0．
所以当k的取值范围为k＜1且k≠0时，原方程有两个不相等的实数根．
（3）当k=0，原方程变为-6x+9=0，此方程有实根；
当k≠0且△=62-4×9×k≥0，原方程为一元二次方程有实根，即k≤1且k≠0；
由两种情况综合得k≤1．
所以当k的取值范围为k≤1时，原方程有实数根．