Question

如图，两个同样大小的等边△ABC和△ACD，边长为a，它们拼成一个菱形ABCD，另一个足够大的等边△AEF绕点A旋转，AE与BC相交于点M，AF与CD相交于点N．
（1）证明：∠DAN=∠CAM；
（2）求四边形AMCN的面积；
（3）探索△AMN何时面积最小，并写出这个最小面积的值．

Answer

（1）由△ABC和△ACD，△AEF都是等边三角形，得到∠DAC=∠FAE=60°，得到∠DAN=∠CAM；
（2）由（1）和等边三角形的性质得到∠DAN=∠CAM，AD=AC，∠D=∠ACB=60°，则△ADN≌△ACM，于是有S四边形AMCN的面积=S△ABC=a2；
（3）由（2）得AN=AM，再根据三角形的面积公式得S△AMN=AM•AN•sin∠NAM=AM2•sin60°=×AM2，当AM最小时，S△AMN最小，即AM为BC边上的高，而AM=a，即可得到△AMN面积最小值．
（1）证明：∵△ABC和△ACD，△AEF都是等边三角形，
∴∠DAC=∠FAE=60°，
∴∠DAN=∠CAM；

【解析】
（2）∵∠DAN=∠CAM，AD=AC，∠D=∠ACB=60°，
∴△ADN≌△ACM，
∴S四边形AMCN的面积=S△ABC=a2；

（3）∵△ADN≌△ACM，
∴AN=AM，
∴S△AMN=AM•AN•sin∠NAM=AM2•sin60°=×AM2，
当AM最小时，S△AMN最小，即AM为BC边上的高，
∴AM=a，
∴△AMN面积最小值=××a2=a2．