Question

如图1，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为-1，直线l：y=-x-与坐标轴分别交于A、C两点，点B的坐标为（4，1），⊙B与x轴相切于点M．
（1）求点A的坐标及∠CAO的度数；
（2）⊙B以每秒1个单位长度的速度沿想x轴负方向平移，同时，直线l绕点A以每秒钟旋转30°的速度顺时针匀速旋转，当⊙B第一次与⊙O相切时，请判断直线l与⊙B的位置关系，并说明理由：

（3）如图2，过A、O、C三点作⊙O₁，点E是⊙O₁上任意一点，连接EC、EA、EO．
①若点E在劣弧OC上，试说明：EA-EC=EO；
②若点E在优弧OAC上，①的结论中EC、EA、EO的关系式是否仍然成立？若成立，请你说明理由？若不成立，请你直接写出正确的结论．

Answer

（1）根据直线l：y=-x-与坐标轴分别交于A、C两点，A的纵坐标等于0，C点的横坐标等于0．代入解析式求解即可．
（2）首先根据题意添加辅助线，画出⊙B第一次与⊙O相切的位置图，根据两圆相切的位置关系，求出t，根据时间t求出直线l绕点A以每秒钟旋转30°的速度顺时针匀速旋转的角度．根据旋转后的位置，根据直线与圆的位置关系，判定判断直线l与⊙B的位置关系．
（3）①由（1）知AC是直径，先确定三角形OAC为圆内接等腰直角三角形； 在AE上截取AM=CE，连接OM；通过边角边定理证明△OAM≌△OCE；进而可知△OME为等腰直角三角形，最后证明AE-EC=EO
②由（1）知AC是直径，先确定三角形OAC为圆内接等腰直角三角形，在EA的延长线上截取AM=CE，连接OM； 通过边角边定理证明△OAM≌△OCE；进而可知△OME为等腰直角三角形，最后证明AE+EC=EO
【解析】
（1）∵点A是直线l：y=-x-与坐标轴x轴的交点
∴y=0，即0=-x-，解得x=
所以点A（，0），同理点C（0，）
∴OA=OC
∵OA⊥OC，∴∠CAO=45°

（2）

过B1做B1P垂直于l′角l′于点P，连接B1A，B1O，B1N
如图，设⊙B平移t秒到⊙B1处与⊙O第一次相切，⊙B1与x轴相切于点N，连接B1O，B1N
则MN=t，OB1=OK+KB1=，B1N=1，B1N⊥AN
∴ON=1，MN=3，即t=3
l绕点A以每秒钟旋转30°的速度顺时针匀速旋转了90°，即l与l′相互垂直．
则B1P⊥AP，∴∠PAB1=∠NAB1
由（1）知AO=，∴AO=OB1
∴∠OAB1=∠OB1A
又∵∠B1ON=45°
∴∠B1AO=22.5°
∴∠PAB1=90°-45°-22.5°=22.5°
在Rt△PAB1与Rt△NAB1中，∠PAB1=∠B1AN，AB1为公共边，
所以Rt△PAB1≌Rt△NAB1
PB1=NB1=1
故直当⊙B第一次与⊙O相切时，直线l与⊙B相切

（3）

①由（1）知△OAC为圆内接等腰直角三角形，AC为直径
在AE上截取AM=CE，连接OM；
∵OA=OC，AM=CE，∠OAE=∠OCE（圆周角）
∴△OAM≌△OCE；
∴∠AOM=∠COE，OM=OE
∵∠AOC=∠AOM+∠MOC=90°，∠MOE=∠COE+∠MOC
∴∠MOE=90°
∴△OME为等腰直角三角形
∴ME=EO
又∵ME=AE-AM=AE-EC
∴AE-EC=EO
②

由（1）知三角形OAC为圆内接等腰直角三角形，AC为直径
在EA的延长线上截取AM=CE，连接OM；
∵OA=OC，AM=CE，∠OAE=∠OCE（外角等于所对的圆周角）
∴△OAM≌△OCE；
∴∠AOM=∠COE，OM=OE
∵∠AOC=∠AOM+∠MOC=90°，∠MOE=∠COE+∠MOC
∴∠MOE=90°
∴△OME为等腰直角三角形
∴ME=EO
又∵ME=AE+AM=AE+EC
∴AE+EC=EO
所以①不成立，正确的结论是AE+EC=EO