Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，P为AB上一点，且点P不与点A重合，过点P作PE⊥AB交AC边于E点，点E不与点C重合，若AB=10，AC=8，设AP的长为x，四边形PECB的周长为y，求y与x之间的函数关系式．

Answer

四边形PECB的周长为PE+EC+CB+BP，其中BC在直角△ABC中运用勾股定理可以求出，BP=AB-AP=10-x，另外两条边均可根据△AEP∽△ABC，借助于比例线段，用含有x的式子表示出来．关键还需求出自变量x的取值范围，这可以令E点运行到C时，求特殊值．
【解析】
∵在△ABC中，∠C=90°AB=10，AC=8，
∴BC=6．
∵EP⊥AB且∠A为公共角，
∴△AEP∽△ABC，
∴．
∵AP=x，
∴，
即AE=，PE=，
∴．
∴．
当E与C重合时，CP⊥AB，
∴△APC∽△ACB，
∴CA2=AP•AB，
∴82=10AP，
AP=．
因为P与A不重合，E与C不重合，
所以．
即．