Question

如图，AB和CD都是⊙O的直径，E为OB的中点，若AB=4，AC=．
（1）求证：△OBC为正三角形；
（2）求的长度；
（3）求图中阴影部分的面积．（面积结果保留3个有效数字）

Answer

（1）由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，再根据AB=4，AC=，可得sinB=，则∠B=60°，即可得到△OBC为正三角形；
（2）直接根据扇形的面积公式：S=计算即可；
（3）过D作DF⊥AB，F为垂足，连DB，则DF=OD•sin60°=2×=，而E为OB的中点，所以OE=1，得到S△DOE=×OE×DF=×1×=，所以S阴影部分=S扇形ODB-S△DOE，扇形的面积根据S=计算．
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵AB=4，AC=，
∴sinB==，
∴∠B=60°，
而OB=OC，
所以△OBC为正三角形；

（2）【解析】
∵直径AB=4，
∴OB=2，
又∵∠BOC=60°，
∴的长度==；

（3）【解析】
过D作DF⊥AB，F为垂足，连DB，如图，
∵∠BOC=60°，
∴∠AOD=60°，∠BOD=120°，
∴DF=OD•sin60°=2×=，而E为OB的中点，所以OE=1，
∴S△DOE=×OE×DF=×1×=，
∴S阴影部分=S扇形ODB-S△DOE=-=-≈3.32．