Question

如图，已知点P的坐标为（2，1），抛物线y=x²沿OP方向平移，顶点B从O点开始平移到P点结束，设顶点B的横坐标为m．

（1）用m的代数式表示点B的坐标；
（2）设直线x=2与抛物线交于点A，与x轴交于点F，平移过程中抛物线的对称轴交x轴于点E．
①当四边形ABEP是平行四边形时，求此时抛物线的解析式；
②探究：当m为何值时，以AB为边的正方形ABCD的顶点C落在坐标轴上？

Answer

（1）利用三角形相似，可以求出点B的坐标
（2）利用二次函数平移前后a不变和勾股定理求出．
（1）【解析】
在△BOE和△POM中，△BOE∽△POM，
∴=，
∵顶点B的横坐标为m，
点P的坐标为（2，1），
∴BE=，
∴点B的坐标为（m，）；

（2）【解析】
如图1，①∵BE=，
假设四边形ABEP是平行四边形，
∴AP=BE=，A（2，1+），
根据二次函数的顶点坐标为（，），
点B的坐标为（m，）也是二次函数的顶点坐标，
根据题意得，其中a=1，
解得：b=-2m，c=，
把点A（2，1+）代入y=x2+bx+c得；
1+=4-4m+，
解得：m=1或3，
∵m≤2，
∴m=1．
∴解析式为：y=x2-2x+；

②【解析】
以AB为边的正方形ABCD的顶点C落在坐标轴上，分两种情况：
第一种：如图2，C点落在x轴上，如图①．过点A作AG⊥BE于G．
易证△AGB≌△BEC，∴AG=BE，
∴2-m=，解得m=；
第二种：如图3，C点落在y轴上，如图②．过点B作GH∥x轴交y轴于G，交PA于H．易证△ABH≌△BCG，∴AH=BG，
∴（2-m）2+-=m
解得m=1或4．
∵m≤2，
∴m=1．
综上可知，当m=1或时，以AB为边的正方形ABCD的顶点C落在坐标轴上．