Question

如图，四边形ABCO是矩形，点A（3，0），B（3，4），动点M、N分别从点O、B出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N作NP∥OC，交AC于点P，连接MP，已知动点运动了x秒，△MPA的面积为S．
（1）求点P的坐标．（用含x的代数式表示）
（2）写出S关于x的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）当△APM与△ACO相似时，求出点P的坐标．
（4）△PMA能否成为等腰三角形？如能，直接写出所有点P的坐标；如不能，说明理由．

Answer

（1）先确定直线AB的解析式，以及N点的坐标后可以确定P点的横坐标，再把它代入直线方程解出P点坐标．
（2）由P点的纵坐标可以知道△MPA中边AM上的高，再求出AM的长，即可求得三角形面积．
（3）当△APM与△ACO相似时∠APM=90°，或者，根据这个式子列出等量关系可以求得x的值．进而求得P点坐标．
（4）△PMA能成为等腰三角形时，有两边长相等，此时分三种情况①AM=AP；②AP=PM；③MP=MA；根据勾股定理得出关于x的方程，求出方程的解即可．
【解析】
（1）设直线AC的解析式为：y=kx+b，
过点A（3，0）、C（0，4），解得：
y=，
N点坐标为（3-x，4），所以P点横坐标为：3-x，
代入直线解析式得纵坐标为，
所以P点坐标为：（）；

（2）AM边上的高为P点纵坐标，
所以有：h=，
M点坐标为（x，0），
AM=3-x，
所以有：S=AM•h，
解得：S==，
解得S的最大值为，

（3）由题目可知AO=3，AC=5，AM=3-x，AP=，
∵
∴，解得：
x=，即P点坐标为（，），
同理可得当时，
P点坐标为（，2）；
故有P点坐标为：P1（，）、P2（，2）；

（4）△PMA能成为等腰三角形，
有三种情况：①AM=AP时，[3-（3-x）]2+=（3-x）2，
解得：x1=，x2=-（舍去），
∴3-x=，x=，
∴P的坐标是（，），
②AP=PM时，[3-（3-x）]2+=[（3-x）-x]2+，
解得：x1=1，x2=3（舍去），
∴3-x=2，x=，
∴P的坐标是（2，），
③MP=MA时，[（3-x）-x]2+=（3-x）2，
解得：x1=0（舍去），x2=，
∴3-x=，x=，
∴P的坐标是（，），
即P点的坐标分别为
P1（2，）、P2（，）、P3（，）．
答：△PMA能成为等腰三角形，此时P点的坐标分别为
P1（2，）、P2（，）、P3（，）．