Question

已知：如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（-4，0），B（0，3）．
（1）求AB的长；
（2）过点B作BC⊥AB，交轴于点C，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，如果P、Q分别是AB和AC上的动点，连接PQ，设AP=CQ=x，问是否存在这样的使得△APQ与△ABC相似？若存在，请求出的x值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据点A、B的坐标分别为A（-4，0），B（0，3）可知OB=3，AO=4，利用勾股定理即可求出AB．
（2）根据BC⊥AB，BO⊥AC，利用射影定理即可求出OC，然后可知C点的坐标．
（3）假设△APQ与∽△ABC，利用其对应边成比例即可求出x的值．
【解析】
（1）∵点A、B的坐标分别为A（-4，0），B（0，3），
∴OB=3，AO=4，
∴AB==5；

（2）∵BC⊥AB，BO⊥AC，
∴BO2=AO•OC，即OC===2.25，
∴C点的坐标是（2.25，0）；

（3）

当△APQ与∽△ABC时，PQ∥BC，
∴=，
∵AP=CQ=x，
∴=，
解得x=．
当△APQ与∽△ACB时，，
即，
解得：x=
答：（1）AB的长为5；（2）C的坐标为（2.25，0）；（3）存在，x的值为或．