Question

已知如图P是⊙O直径AB延长线上的一点，割线PCD交⊙O于C、D两点，弦DF⊥AB于点H，CF交AB于点E．
（l）求证：PA•PB=PO•PE；
（2）若DE⊥CF，∠P=15°，⊙O的半径为2，求弦CF的长．

Answer

（1）欲证PA•PB=PO•PE，而这四条线段根本构不成相似三角形，因此需要转化，根据切割线定理，PD•PC=PA•PB，所以原题可转化为证明PO•PE=PD•PC，即证△DPO∽△EPC，而这两个三角形现在共用一个角P，且根据弧AD=弧AF=弧DF，可证∠AOD=∠DCF即∠POD=∠PCE，因此得出相似，从而找出比例线段，得到等积式；
（2）由图可知，CF=CE+EF，而由垂径定理可知DE=EF，所以只要求出DE和CE即可，欲求CE，可通过证明△DHO∽△DEC，运用比例线段进行求解，至于DE，则根据题中给出的已知条件可说明三角形DHE为等腰直角三角形，而DH和HE则可通过勾股定理求出，从而求出CF的值．
（1）证明：连接OD．
∵AB是⊙O的直径，且DF⊥AB于D点H，
∴==．
∴∠AOD=∠DCF．
∴∠POD=∠PCE．
∵∠DPO=∠EPC，
∴△DPO∽△EPC．
∴．
即PO•PE=PD•PC．
又PD•PC=PA•PB，
∴PA•PB=PO•PE．

（2）【解析】
由（1）知：
AB是弦DF的垂直平分线，
∴DE=EF．
∴∠DEA=∠FEA．
∵DE⊥CF，
∴∠DEA=∠FEA=45°．
∴∠FEA=∠CEP=45°．
∵∠P=15°，
∴∠AOD=60°．
在Rt△DHO中
∵∠AOD=60°，OD=2，
∴OH=1，DH=．
∵△DHE是等腰直角三角形，
∴DE=．
又∵∠AOD=∠DCF，∠DHO=∠DEC=90°，
∴△DHO∽△DEC．
∴．
∴．
∴EC=．
∴CF=CE+EF=CE+DE=．