Question

已知：如图，∠AOB=90°，D、C将三等分，弦AB与半径OD、OC交于点F、E，求证：AE=DC=BF．

Answer

由∠AOB=90°，D、C将三等分，得到∠1=∠2=∠3=30°，并且CD=BD，∠A=∠OBF=45°，可证得△OAE≌△OBF，则AE=BF；
由OB=OD，∠3=30°，可求出∠5=（180°-30°）=75°，而∠4=∠3+∠OBF=30°+45°=75°，因此得到BF=BD；所以AE=DC=BF．
【解析】
连BD，如图
∵∠AOB=90°，D、C将三等分，
∴∠1=∠2=∠3=30°，并且CD=BD，
又∵OA=OB，
∴∠A=∠OBF=45°，
∴△OAE≌△OBF，
∴AE=BF；
又∵OB=OD，∠3=30°，
∴∠5=（180°-30°）=75°，
而∠4=∠3+∠OBF=30°+45°=75°，
∴BF=BD；
而CD=DB，AE=BF，
所以AE=DC=BF．