Question

如图，已知A、B、C、D四点顺次在⊙O上，且=，BM⊥AC于M，
求证：AM=DC+CM．

Answer

在MA上截取ME=MC，连接BE，由BM⊥AC，得到BE=BC，得到∠BEC=∠BCE；再由=，得到∠ADB=∠BAD，而∠ADB=∠BCE，则∠BEC=∠BAD，根据圆内接四边形的性质得∠BCD+∠BAD=180°，易得∠BEA=∠BCD，从而可证出△ABE≌△DBC，得到AE=CD，即有AM=DC+CM．
证明：在MA上截取ME=MC，连接BE，如图，
∵BM⊥AC，而ME=MC，
∴BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE，
∵=，
∴∠ADB=∠BAD，
而∠ADB=∠BCE，
∴∠BEC=∠BAD，
又∵∠BCD+∠BAD=180°，∠BEA+∠BCE=180°，
∴∠BEA=∠BCD，
而∠BAE=∠BDC，
所以△ABE≌△DBC（AAS），
∴AE=CD，
∴AM=DC+CM．