Question

在梯形ABCD中，AD∥BC．AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，点E、F分别在AD、DC上（点E与A、D不重合）；且∠BEF=120°，设AE=x，DF=y．
（1）求BC边的长；
（2）求出 y关于x的函数关系；
（3）利用配方法求x为何值时，y有最大值，最大值为多少？

Answer

（1）过A点作AG∥CD交BC于G点，易证四边形AGCD为平行四边形，可知AD=CG，AB=CD=AG，又∠ABC=60°，故△ABG为等边三角形，则有BC=BG+CG=AB+AD；
（2）由等腰梯形的性质可知∠A=∠D=120°，根据三角形外角性质得∠BED=∠ABE+∠A，即∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠A，可证∠ABE=∠DEF，则△ABE∽△DEF，利用相似三角形对应边的比相等，得出y关于x的函数关系；
（3）利用配方法，将（2）中的函数关系式写成顶点式，可求最大值．
【解析】
（1）过A点作AG∥CD交BC于G点，
∵AD∥BC，
∴四边形AGCD为平行四边形，
∴AD=CG，AB=CD=AG，又∠ABC=60°，
∴△ABG为等边三角形，
∴BG=AB，
∴BC=BG+CG=AB+AD=12；

（2）根据等腰梯形的性质，得∠A=∠D=120°，
根据三角形外角定理，得∠BED=∠ABE+∠A，
即120°+∠DEF=∠ABE+120°，
∴∠ABE=∠DEF，
∴△ABE∽△DEF，
∴=，即=，
解得y=-x2+x；

（3）∵y=-x2+x=y=-（x-3）2+，且-＜0，
∴当x=3时，y最大值=．