Question

如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，AC=AB，∠DAC=30度．点E、F是梯形ABCD外的两点，且∠EAB=∠FCB，∠ABC=∠FBE，∠CEB=30°．
（1）求证：BE=BF；
（2）若CE=5，BF=4，求线段AE的长．

Answer

（1）梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，AC=AB，∠DAC=30°．可知∠BAC=60°，因为AB=AC，所以△ABC为等边三角形，可证△ABE≌△CBF，从而得出结论；
（2）连接EF，由（1）知△ABC为等边三角形，∠ABC=60°，易证△EBF为等边三角形，∠CEF=90°，在Rt△CEF中，CF2=CE2+EF2=CE2+BF2，CF=，又由（1）△ABE≌△CBF知，AE=CF．故AE=．
（1）证明：∵梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，
∴∠DAB=90°，且∠DAC=30°，
∴∠BAC=60°．
∵AB=AC，
∴△ABC为等边三角形．
∴AB=BC，
又∵∠ABC=∠FBE，
∴∠ABE=∠CBF，
在△ABE和△CBF中
∴△ABE≌△CBF，
∴BE=BF；

（2）连接EF．
由（1）知△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°．
又∵∠ABC=∠FBE，
∴∠FBE=60°，
∵BE=BF，
∴△EBF为等边三角形，
∴∠BEF=60°，EF=BF，
∵∠CEB=30°，
∴∠CEF=90°，
∴在Rt△CEF中，CF2=CE2+EF2=CE2+BF2，
∵CE=5，BF=4，
∴CF=．
又由（1）△ABE≌△CBF知，AE=CF，
∴AE=．