Question

如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A₁B₁C₁的顶点A₁与点P重合，第二个△A₂B₂C₂的顶点A₂是B₁C₁与PQ的交点，…，最后一个△A_nB_nC_n的顶点B_n、C_n在圆上．如图1，当n=1时，正三角形的边长a₁=    ；如图2，当n=2时，正三角形的边长a₂=    ；如图3，正三角形的边长a_n=    （用含n的代数式表示）．

Answer

（1）设PQ与B1C1交于点D，连接OB1，由特殊角的三角函数值可得，OD=A1D-OA1=a1-1，再由勾股定理即可求出a1的值；
（2）设PQ与B2C2交于点E，连接OB2，由特殊角的三角函数值可得OE=2A1A2-OA1=a2-1，再由Rt△OB2E勾股定理即可求出a2的值；
（3）设PQ与BnCn交于点F，连接OBn，则OF=nan-1，在Rt△OBnF中利用勾股定理可得，an=．
【解析】
（1）设PQ与B1C1交于点D，连接OB1，则OD=A1D-OA1=a1-1，
在Rt△OB1D中，OB12=B1D2+OD2，
即12=（a1）2+（a1-1）2，
解得，a1=；

（2）设PQ与B2C2交于点E，连接OB2，则OE=2A1A2-OA1=a2-1，
在Rt△OB2E中，OB22=B2E2+OE2，
即12=（a2）2+（a2-1）2，
解得，a2=；

（3）设PQ与BnCn交于点F，连接OBn，则OF=nan-1，
在Rt△OBnF中，OBn2=BnF2+OF2，
即12=（an）2+（nan-1）2，
解得，an=．

故答案为：，，．