Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=4，BD⊥DC，E为BC中点，连接DE．
（1）求证：四边形ABED为菱形；
（2）求梯形ABCD的面积．

Answer

（1）先证明四边形ABCD为平行四边形，再由AB=AD，可得出平行四边形ABCD为菱形；（2）由（1）得，BE=EC=AD=DE，AD=DC，DE=EC=DC，可得出△DEC为等边三角形，由此基础上求出BC的长即可求出梯形的面积．
证明：（1）∵BD⊥DC，E为BC中点，∴BE=ED=EC，∴∠DBE=∠BDE；
又AD∥BC，∴∠ADB=∠DBE，∴∠ADB=∠BDE，
∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB
∴∠BDE=∠ABD∴DE∥AB
又∵AD∥BC，即AD∥BE，
∴四边形ABCD为平行四边形
又AB=AD，∴平行四边形ABCD为菱形．
（2）由（1）得，BE=EC=AD=DE，又∵AD=DC，
∴DE=EC=DC，∴△DEC为等边三角形．
作DF⊥BC于F，则，
BC=2BE=2AD=8，
∴S梯形ABCD=（AD+BC）×DF=×（4+8）×2=12．