Question

如图，△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于D，DE⊥BD交AB于E，作△BDE的外接圆⊙O．
（1）求证：AC与⊙O相切；
（2）若AD=6，AE=2，求⊙O的半径．

Answer

（1）要证明AC与⊙O相切，即要证明OD⊥AD．连接OD，如图，则有∠1=∠2，而∠2=∠3，得到∠1=∠3，因此OD∥BC，又由于∠C=90°，所以OD⊥AD．
（2）根据OD⊥AD，则在RT△OAD中，OA2=OD2+AD2，设半径为r，AD=6，AE=2，得到（r+2）2=62+r2，解方程即可．
（1）证明：连接OD，如图，
∵OD=OB，
∴∠1=∠2，
又∵∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OD∥BC，
而∠C=90°，
∴OD⊥AD，
∴AC与⊙O相切；

（2）【解析】
∵OD⊥AD，
∴在RT△OAD中，OA2=OD2+AD2，
又∵AD=6，AE=2，设半径为r，
∴（r+2）2=62+r2，
解方程得，r=8，
即⊙O的半径为8．