Question

如图，已知C，D是双曲线（x＞0）上的两点，直线CD分别交x轴，y轴于A，B两点．设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），连接OC，OD（O是坐标原点），若∠BOC=∠AOD=α，且tanα=，OC=．
（1）求C，D的坐标和m的值；
（2）双曲线存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下判断点P是否为△OCD的重心．
（4）已知点Q（-2，0），问在直线AC上是否存在一点M使△MOQ的周长L取得最短？若存在，求出L的最小值并证明；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）过点C作CG⊥x轴于G，在直角△OCG中，已知tanα=，OC=，就可以求出CG，OQ的长，就得到C点的坐标．根据待定系数法得到反比例函数的解析式．过D作DH⊥y轴于H，则DH=y2，OH=x2，在Rt△ODH中，tanα=，∴，即y2=3x2，由x2y2=3解得DH的长，进而求出OH，得到D点的坐标．
（2）双曲线上存在点P，使得S△POC=S△POD，这个点就是∠COD的平分线与双曲线的交点，易证△POC≌△POD，则S△POC=S△POD．
（3）根据点P到三个顶点的距离即可判断是否为三角形△OCD的重心；
（4）先求出直线CD的解析式，表示出△MOQ的周长L，根据配方法即可求解．
【解析】
（1）过点C作CG⊥x轴于G，
则CG=y1，OG=x1，
在Rt△OCG中，∠GCO=∠BOC=α，
∵tanα=，
∴，
即y1=3x1，
又∵OC=，
∴x12+y12=10，
即x12+（3x1）2=10，
解得：x1=1或x1=-1（不合舍去）
∴x1=1，y1=3，
∴点C的坐标为C（1，3）．
又点C在双曲线上，可得：m=3，
过D作DH⊥y轴于H，则DH=y2，OH=x2
在Rt△ODH中，tanα=，
∴，
即y2=3x2，
又∵x2y2=3，
∴y2=1或y2=-1（不符合舍去），
∴x2=3，y2=1，
∴点D的坐标为D（3，1）；

（2）双曲线上存在点P，使得S△POC=S△POD，
这个点就是∠COD的平分线与双曲线的交点，
故P点坐标为（，），
∵点D（3，1），
∴OD=，
∴OD=OC，
∴点P在∠COD的平分线上，
则∠COP=∠POD，又OP=OP
∴△POC≌△POD，
∴S△POC=S△POD．

（3）延长OP交CD于M，
∵C（1，3），D（3，1），
∴根据勾股定理OC=OD=，
∵点P在∠COD的平分线上，
∴M为CD中点，
∴M（2．，2），
∵P点坐标为（，），
∴OP=，PM==-+2
即OP≠2PM，
∴P不是△OCD的重心．

（4）∵点C的坐标为C（1，3），点D的坐标为D（3，1），
设直线CD的解析式为y=kx+b．
则有，解得．
∴直线CD的解析式为y=-x+4，
∵Q（-2，0），假设存在M（a，-a+4），则点M关于x轴的对称点M′为（a，4-a），
∴△MOQ的周长L=2+
=2+，
所以当a=1时，周长L取最小值为2+3，
此时点M（1，3），故L取最小值为2+3．