Question

如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，弦AD交BC于点E，AE=4，ED=5，
（1）求证：AD平分∠BDC；
（2）求AC的长；
（3）若∠BCD的平分线CI与AD相交于点I，求证：AI=AC．

Answer

（1）已知AB=AC，则；由同弧所对的圆周角相等，即可证得所求的结论；
（2）根据（1）得出的相等弧，可知∠ACE=∠CDA，易证得△ACE∽△ADC，可得出关于AC、AE、AD的比例关系式，由此可求出AC的长；
（3）求AI=AC，可证∠AIC=∠ACI；由三角形外角的性质知：∠AIC=∠ICD+∠ADC；而∠ACI=∠ACE+∠ICE；观察两个式子，发现∠ICB和∠ICD是由角平分线所分得的两个等角，∠ACE和∠ADC是同弧所对的圆周角，由此可得出∠ACI=∠AIC，即可证得AI=AC．
证明：（1）∵AB=AC，
∴；
∴AD平分∠BDC；

【解析】
（2）∵∠ACB=∠ADB，∠CDA=∠ADB，
∴∠CDA=∠ACB；
∵∠CAE=∠DAC，
∴△ACE∽△ADC；
∴，即；
∴AC=6；

证明：（3）∠AIC=∠ADC+∠DCI，∠ACI=∠BCI+∠ACB；
∴∠AIC=∠ACI；
∴AI=AC．