Question

若α、β是两个不相等的实数，且满足α²-2α-1=0，β²-2β-1=0，那么代数式α²+2β²-2β的值是    ．

Answer

由题意，可知α、β是一元二次方程x2-2x-1=0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系得出α+β=2①，再将等式α2-2α-1=0与β2-2β-1=0变形，分别用含α、β的一次项表示其二次项，得到α2=2α+1②，β2=2β+1 ③，把①②③式分别代入，即可求出代数式α2+2β2-2β的值．
【解析】
∵α2-2α-1=0，β2-2β-1=0，且α、β是两个不相等的实数，
∴α、β是方程x2-2x-1=0的两个不等实根，
∴α+β=2 ①；
又∵α2-2α-1=0，
∴α2=2α+1 ②，
∵β2-2β-1=0，
∴β2=2β+1 ③，
把①②③分别代入，得
α2+2β2-2β=（2α+1）+2（2β+1）-2β=2（α+β）+3=2×2+3=7．
故答案为7．