Question

如图，已知：△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF为AB的垂直平分线交AB于E，交BC于F，DG为AC的垂直平分线，交AC于G，交BC于D，若BC=15cm，则DF长为    ．

Answer

连接AF、AD，先由△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°求出∠B及∠C的度数，再由线段垂直平分线的性质得出BF=AF，AD=CD，∠B=∠BAF，∠C=∠CAD，由三角形外角的性质求出∠AFD与∠ADF的度数，判断出△AFD是等边三角形，由等边三角形的性质可得到AF=FD=AD，故AF=FD=AD=BF=CD，即3DF=BC，由BC=15cm即可求出DF的长．
【解析】
连接AF、AD，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C===30°，
∵EF、DG分别为线段AB、AC的垂直平分线，
∴BF=AF，AD=CD，∠B=∠BAF=30°，∠C=∠CAD=30°，
∵∠AFD与∠ADF分别是△ABF与△ACD的外角，
∴∠AFD=∠B+∠BAF=30°+30°=60°，∠ADF=∠C+∠CAD=30°+30°=60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴AF=FD=AD，
∵BF=AF，AD=CD，BC=15cm，
∴AF=FD=AD=BF=CD，
∴3DF=BC=15，
∴DF=5cm．