Question

已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上，∠DEB=∠ABC．
求证：（1）DB²=DE•DA；
（2）∠DCE=∠DAC．

Answer

（1）根据已知可证△BDE∽△DAB，得到，即证BD2=AD•DE．
（2）在（1）的基础上，因为CD=BD，可证，即可证△DEC∽△DCA，得到∠DCE=∠DAC．
证明：（1）在△BDE和△DAB中
∵∠DEB=∠ABC，∠BDE=∠ADB，（1分）
∴△BDE∽△ADB，（1分）
∴，（1分）
∴BD2=AD•DE．（1分）

（2）∵AD是中线，
∴CD=BD，
∴CD2=AD•DE，
∴，（1分）
又∠ADC=∠CDE，（1分）
∴△DEC∽△DCA，（1分）
∴∠DCE=∠DAC．（1分）