Question

如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．
（1）求弦AB的长；
（2）判断∠ACB是否为定值？若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；
（3）记△ABC的面积为S，若=4，求△ABC的周长．

Answer

（1）连接OA，OP与AB的交点为F，则△OAF为直角三角形，且OA=1，OF=，借助勾股定理可求得AF的长；
（2）要判断∠ACB是否为定值，只需判定∠CAB+∠ABC的值是否是定值，由于⊙D是△ABC的内切圆，所以AD和BD分别为∠CAB和∠ABC的角平分线，因此只要∠DAE+∠DBA是定值，那么CAB+∠ABC就是定值，而∠DAE+∠DBA等于弧AB所对的圆周角，这个值等于∠AOB值的一半；
（3）由题可知S=S△ABD+S△ACD+S△BCD=DE（AB+AC+BC），又因为=4，所以AB+AC+BC=8DE，由于DH=DG=DE，所以在Rt△CDH中，CH=DH=DE，同理可得CG=DE，又由于AG=AE，BE=BH，所以AB+AC+BC=CG+CH+AG+AB+BH=2DE+2，可得8DE=2DE+2，解得：DE=，代入AB+AC+BC=8DE，即可求得周长为．
【解析】
（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA=1．
∵弦AB垂直平分线段OP，
∴OF=OP=，AF=BF，
在Rt△OAF中，
∵AF===，
∴AB=2AF=．

（2）∠ACB是定值．
理由：连接AD、BD，
由（1），OF=，AF=，
∴tan∠AOP==，
∴∠AOP=60°，
∴∠AOB=120°，
∵点D为△ABC的内心，
∴∠CAB=2∠DAE，∠CBA=2∠DBA，
∵∠DAE+∠DBA=∠AOD+∠DOB=∠AOB=60°，
∴∠CAB+∠CBA=120°，
∴∠ACB=60°．

（3）记△ABC的周长为l，取AC，BC与⊙D的切点分别为G，H，连接OD．
连接DG，DC，DH，则有DG=DH=DE，DG⊥AC，DH⊥BC，
∴S=S△ABD+S△ACD+S△BCD
=AB•DE+BC•DH+AC•DG=（AB+BC+AC）•DE=l•DE，
∵=4，
∴=4，
∴l=8DE，
∵CG，CH是⊙D的切线，
∴∠GCD=∠ACB=30°，
∴在Rt△CGD中，CG===DE，
∴CH=CG=DE，
又由切线长定理可知AG=AE，BH=BE，
∴l=AB+BC+AC=2+2DE=8DE，
解得DE=，
∴△ABC的周长为．