Question

设抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于两个不同的点A（-l，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，2）．
（1）求抛物线的解析式：
（2）问抛物线上是否存在一点M，使得S_△ABM=2S_△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）已知点D（1，n）在抛物线上，过点A的直线y=-x-1交抛物线于另一点E．
①求tan∠ABD的值：
②若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标．

Answer

（1）把三个点分别代入解析式，再联立求解，即可解出a、b、c的值，代入原函数解析式．
（2）先假设存在这样的一个点，再根据实际情况看假设是否成立．
（3）①先求得D点的坐标，再根据三角形的相关性质求解角度．
②两三角形相似存在两种情况：，根据这两种情况分别列出方程是求解．
【解析】
（1）把三点分别代入后求解可得：
a=，b=，c=2；
代入后得此函数解析式为：y=；

（2）假设存在这样的点M，使得S△ABM=2S△ABC
假设点M的坐标为：（xM，yM），
所以有：•AB•h=2••AB•2，
其中h是三角形ABM AB 边上的高等于yM的绝对值，解得h=4，
二次函数解析式y=的最大值是＜4，
故x轴的上方不存在这样的M点，
所以有yM=-4，即有y==-4，
解得：x=，
即M点的坐标为（）或者（）；

（3）①D（1，n）代入原函数解析式得：n=3
所以D点坐标为（1，3），
过点D作垂线DF⊥x轴，可得tan∠ABD=，
②由y=-x-1和y=；联立求解得：
x=-1 y=0 或者 x=6 y=-7；
所以点E的坐标为（6，-7），
过点E作EH⊥x轴于H，则H（6，0），
所以AH=EH=7，∠EAH=45°，又因为tan∠ABD=，故∠DBF=45°
所以∠EAH=∠DBF，且有∠DBH=135°
90°＜∠EBA＜135°，则点P只能在点B的左侧，即有以下两种情况：
1）△DBP∽△EAB，则有：，
所以BP=，故OP=4-=，
所以点P坐标为（）
2）△DBP∽△BAE，则有，
所以BP=，
OP=，
所以点P的坐标为（-），
综上所述点P坐标为（）或者（-）．