Question

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD于D，AC平分∠DAB．
求证：CD是⊙O的切线．

Answer

由于C是⊙O上一点，连接OC，证OC⊥CD即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得∠OCA=∠CAD，即可得到OC∥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得证．
证明：
证法一：连接OC；
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA；
∵AD⊥CD，
∴∠DAC+∠ACD=90°；
又∠OAC=∠CAD，
∴∠OCA+∠ACD=90°，
即OC⊥CD；
∵C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线．

证法二：连接OC；
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵∠OAC=∠DAC，
∴∠OCA=∠CAD，
∴OC∥AD；
又∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD；
又∵C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线．