Question

已知△ABC中，AC=4，BC=5，AB=6．
（1）如图，点D为边AC上任意一点，点E在边AB上，且△ADE与△ABC相似．
①请在图中画出所有符合题意的△ADE（不必尺规作图）；
②若AD=m，试用m的代数式表示AE的长；
（2）点M、N分别在边AB、BC上，且△BMN与△ABC相似，若AM=x，试求当符合题意的△BMN唯一时，x的取值范围（请写出必要的解题过程）．

Answer

（1）①过点D作BC的平行线，∠AED=∠ABC，做∠AED=∠ACB，这两种情况．
②利用相似三角形对应边成比例，将AD=m代入即可．
（2）当MN∥AC时，△BMN与△ABC相似总是存立，只要求出点N与点C重合，且△BMN∽△BCA时AM的长即可，当△BMN∽△BCA（N与C重合）时，有∠BMC=∠ACB，当符合题意的△BMN唯一时，x的取值范围是0≤x＜．
【解析】
（1）①如图所示
，
②情况一：∵△AED∽△ABC，且∠AED=∠ABC，
∴，
∴；（1分）
情况二：∵△ADE∽△ABC，且∠AED=∠ACB，
∴，
∴；（1分）

（2）∵当MN∥AC时，△BMN与△ABC相似总是存立，
∴只要求出点N与点C重合，且△BMN∽△BCA时AM的长即可．（1分）
当△BMN∽△BCA（N与C重合）时，有∠BMC=∠ACB，则，
即，
∴（1分）
∴当符合题意的△BMN唯一时，x的取值范围是0≤x＜．（2分）