Question

如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD：BC=1：2，点E为边AB中点，点F是边BC上一动点，线段CE与线段DF交于点G．
（1）若，求的值；
（2）连接AG，在（1）的条件下，写出线段AG和线段DC的位置关系和数量关系，并说明理由；
（3）连接AG，若AD=2，AB=3，且△ADG与△CDF相似，求BF的长．

Answer

（1）延长CE和DA，相交于M，根据平行线分线段成比例进行计算可以求出的值．（2）根据对应线段的比相等可以得到AG与DC的位置和数量关系．（3）根据两三角形相似，对应线段的比相等，求出线段BF的长．
【解析】
（1）∵BF：FC=1：3，∴设BF=k，
则FC=3k，BC=4k，∵AD：BC=1：2，∴AD=2k，
如图：延长CE交DA的延长线于点M，
∵AD∥BC，
∴，且
∵点E为边AB中点，
∴AM=BC=4k，
∴DM=DA+AM=2k+4k=6k，
∴．

（2）AG∥DC，且．
证明：∵AD∥BC，
∴，
∵，
∴，
∴AG∥DC．
∴．

（3）∵ABCD是等腰梯形，AD=2，AD：BC=1：2，
∴BC=4，
∵AD∥BC，
∴∠ADG=∠DFC，
∵△ADG∽△CDF，
∴∠AGD=∠FDC或∠DAG=∠FDC．
情况1，当∠AGD=∠FDC时，有AG∥DC，延长CE交DA的延长线于点M，可得AM=4，
由得，
∴AG=2
∵△ADG与△CDF相似，且∠AGD=∠FDC，
∴，即，
∴CF=3
∴BF=1．
情况2，当∠DAG=∠FDC时，延长AG交BC于点T，可得△ABT∽△FCD，
则，由AD∥BC得，
设BF=x，可得FT=，
∴，
整理得：2x2-4x+11=0，
∵△=16-88＜0，
∴无实数根；
∴BF=1．