Question

△ABC是锐角三角形，BC=6，面积为12，点P在AB上，点Q在AC上，如图所示，正方形PQRS（RS与A在PQ的异侧）的边长为x，正方形PQRS与△ABC公共部分的面积为y．
（1）当RS落在BC上时，求x；
（2）当RS不落在BC上时，求y与x的函数关系式；
（3）求公共部分面积的最大值．

Answer

（1）当RS落在BC上时，先求△ABC的BC边上的高，由△APQ∽△ABC，利用相似比求x；
（2）分为当RS落在△ABC外部或内部两种情况，当RS在△ABC外部时，由相似得公共部分的长、宽，表示面积，当RS在△ABC内部时，正方形面积即为公共部分面积；
（3）根据（1）（2）所求函数关系式，结合自变量取值范围分别求最大值，比较得出结论．
【解析】
（1）过A作AD⊥BC于D交PQ于E，则AD=4，
由△APQ∽△ABC，得，故x=．

（2）①当RS落在△ABC外部时，由△APQ∽△ABC，得AE=，
故y=x（4-x）=-x2+4x（＜x≤6）；
②当RS落在△ABC内部时，y=x2（0＜x＜）．

（3）①当RS落在△ABC外部时，y=-x2+4x=-（x-3）2+6  （＜x≤6），
∴当x=3时，y有最大值6，
②当RS落在BC边上时，由x=可知，y=，
③当RS落在△ABC内部时，y=x2（0＜x＜），
故比较以上三种情况可知：公共部分面积最大为6；