Question

如图①，将直角边长为1的等腰直角三角形ABC绕其直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得△A₁B₁C，A₁C交AB于点D，A₁B₁分别交于BC、AB于点E、F，连接AB₁．
（1）求证：△ADC∽△A₁DF；
（2）若α=30°，求∠AB₁A₁的度数；
（3）如图②，当α=45°时，将△A₁B₁C沿C→A方向平移得△A₂B₂C₂，A₂C₂交AB于点G，B₂C₂交BC于点H，设CC₂=x（0＜x＜），△ABC与△A₂B₂C₂的重叠部分面积为S，试求S与x的函数关系式．

Answer

（1）根据旋转变换的性质得到：∠CAD=∠FA1D，又由∠1=∠2，易证得△ADC∽△A1DF；
（2）由四点共圆的知识，易得点A、A1、B、B1均在以C为圆心半径为的圆上，又由同弧所对的圆周角相等，可求得∠AB1A1的度数；
（3）△A1B1C在平移的过程中，易证得△AC2G、△HB2E、△A2FG、△C2HC、△FBE均是等腰直角三角形，四边形AC2B2F是平行四边形，然后由勾股定理即可求得S与x的函数关系式．
（1）证明：如图，根据旋转变换的性质易知：∠CAD=∠FA1D，
∵∠1=∠2，
∴△ADC∽△A1DF；

（2）【解析】

（法一）∵CA=CA1=CB=CB1=1，
∵点A、A1、B、B1均在以C为圆心半径为AC的圆上，
∴∠AB1A1=；
（法二）如图①，
∵AC=B1C，
∴∠4=∠3，
∵α=30°，∠A1CB1=90°，
∴∠ACB1=120°，
∴∠4==30°，
∴∠AB1A1=∠CB1A1-∠4=45°-30°=15°；
（法三）如图①，
∵AC=B1C，
∴∠4=∠3，
∵∠CAB=∠CB1A1，
∴∠CAB-∠3=∠CB1A1-∠4，
即∠B1AB=∠AB1A1，
∵∠5=∠B1AB+∠AB1A1，
∴∠5=2∠AB1A1，
∵△ADC∽△A1DF，
∴∠5=α，
∴∠AB1A1=；

（3）【解析】
△A1B1C在平移的过程中，易证得△AC2G、△HB2E、△A2FG、△C2HC、△FBE均是等腰直角三角形，四边形AC2B2F是平行四边形，
∵AB==，
∴当α=45°时，CE=CD=AB=，
情形①：当0＜x＜1时（如图2所示），
△A2B2C2与△ABC的重叠部分为五边形C2HEFG，
S五边形C2HEFG=S平行四边形AC2B2F-SRt△AC2G-SRt△HB2E，
∵C2C=x，
∴CH=x，AC2=1-x，B2E=HE=1-x，
∴AG=C2G=AC2=（1-x）=-x，
∴S平行四边形AC2B2F=AC2•CE=（-x）•=-x，
SRt△AC2G=•AG2=（-x） 2=x2-x+，
SRt△HB2E=•B2E2=，
∴S五边形C2HEFG=-x-（x2-x+）-（）=-x2+x-，
情形②：当1≤x＜时（如图3所示），
△A2B2C2与△ABC的重叠部分为直角梯形C2B2FG，
S直角梯形C2B2FG=S平行四边形C2B2FA-SRt△AC2G=AC2•CE-AG2
=-x-（x2-x+）=-x2+；