Question

在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且c=5，若关于x的方程（5+b）x²+2ax+（5-b）=0有两个相等的实数根，又方程2x²-（10sinA）x+5sinA=0的两实数根的平方和为6，求△ABC的面积．

Answer

在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）有相等的实数根必须满足△=b2-4ac=0．根据根与系数的关系求出∠A的正弦，运用三角函数及勾股定理求出a，b的长度，从而求出△ABC的面积．
【解析】
∵方程（5+b）x2+2ax+（5-b）=0有相等实数根，
∴△=（2a）2-4（5+b）（5-b）=0．
得a2+b2=75．
∵C2=75，∴a2+b2=c2．
故△ABC是直角三角形，且∠C=90°．                         （2分）
设x1、x2是2x2-（10sinA）x+5sinA=0的两实数根，
则x1+x2=5sinA，x1•x2=sinA．
∵x12+x22=6，而x12+x22=（x1+x2）2-2x1•x2
∴（5sinA）2-5sinA-6=0．
解得sinA=，或sinA=-（舍去）．                         （5分）
在Rt△ABC中，
C=5，a=c•sinA=3，b==4
故S△ABC=ab=18．                                        （8分）