Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，8），点B（6，8 ）．
（1）只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个点P，使点P同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）：
①点P到A，B两点的距离相等；②点P到∠xOy的两边的距离相等．
（2）在（1）作出点P后，在x轴的正半轴上求一点M，使△POM是等腰三角形．

Answer

（1）点P到A，B两点的距离相等，即作AB的垂直平分线，点P到∠xOy的两边的距离相等，即作角的平分线，两线的交点就是点P的位置．
（2）根据等腰三角形的性质，以O为圆心，OP为半径，圆与x轴的正半轴交点M，就是所求作的点．
【解析】
（1）作图如图，点P即为所求作的点；

（2）若OP=OM，
作图如图，点M即为所求作的点．
∵点P到A，B两点的距离相等，
∴PA=PB，
∵点P到∠xOy的两边的距离相等，
∴P在∠AOM的平分线上，
∴∠POF=∠OPF=45°，
∴直线EF的方程x=3，
∴0F=PF=3，
∴OP=3，
∴点M的坐标为（3，0）．
P的坐标为（3，3）．
若OP=PM，
则∠PMO=∠POM=45°，
∴∠OPM=90°，
∴OM==6，
∴M的坐标为（6，0）．
若PM=MO，
∴M的坐标为（3，0）．
∴M的坐标为（3，0）或（6，0）或（3，0）．