Question

如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
（1）请判断四边形EFGH的形状？并说明为什么．
（2）若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质？
（3）在（2）的条件下，若EF=2，求四边形ABCD的面积．

Answer

（1）连接四边形的对角线，根据题目所给四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，可得四边形对边平行且相等，从而判断平行四边形；
（2）只要加对角线相等且互相垂直就可证明是正方形；
（3）在（2）的条件下可知四边形ABCD的对角线互相垂直，对角线的乘积就是四边形ABCD的面积．
【解析】
（1）∵E是AB的中点，H是AD的中点，
∴EH∥BD，EH=BD
∵F是BC的中点，G是CD的中点
∴GF∥BD，GF=BD
∴GFEH，
∴四边形EFGH是平行四边形．

（2）若加AC=BD且AC⊥BD，则四边形EFGH会是正方形
在（1）的条件下，∵AC=BD
∴EF=FG=GH=HE
∴四边形EFGH是菱形．
又∵AC⊥BD，EH∥BD，EF∥AC
∴∠HEF=90°
∴四边形EFGH是正方形

（3）在（2）的条件下若EF=2，则AC=BD=4且BD⊥AC，若四边形对角线垂直的话，四边形的面积可以是对角线乘积的一半．
则×4×4=8．
故四边形ABCD的面积为8．