Question

在正方形ABCD中：
（1）如图①，点E、F分别在BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M．求证：AE=BF．
（2）如图②，如果点E、F、G、H分别在BC、CD、DA、AB上，且GE⊥HF，垂足M．那么GE、HF相等吗？证明你的结论．
（3）若将②中的条件“GE⊥HF”改为GE=HF，那么GE、HF有什么位置关系？证明你的结论．
（4）如图③，在等边三角形ABC中，点E、F分别在BC、CA上，且BE=CF，你能猜想∠AMF的度数吗？证明你的结论．

Answer

有三角形的直接证明三角形全等，没三角形的构造直角三角形，利用正方形的性质证明三角形全等；对于第4问也是证明三角形全等，再用角等量代换求解．
（1）证明：∵AE⊥BF，
∴∠BAE+∠ABM=90°，∠CBF+∠ABM=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△BAE和△CBF中
，
△BAE≌△CBF（AAS），
∴AE=BF；

（2）结论：HF=GE
分别过G、H作GT⊥BC、HN⊥CD，
∴GT⊥HN，
∴∠FHN+∠HPO=90°，∠EGT+∠GPM=90°，∠GPM=∠HPO，
∴∠FHN=∠EGT，
∵HN=GT，∠GTE=∠NHF=90°，
∴△GTE≌△HNF，
∴GE=HF；

（3）结论：GE⊥HF
分别过G、H作GT⊥BC、HN⊥CD，
∵GT=HN GE=HF，
∴直角三角形HFN≌直角三角形GTE，
∴∠FHN=∠EGT，
又∵∠FHN+∠HPO=90°，
∠HPO=∠GPM，
∴∠GPM+∠EGT=90°，
∴∠GMP=90°，
∴GE⊥HF；

（4）结论：∠AMF=60°．
在△ABE和△BCF中
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF，
∴∠ABE=∠BME=60°，
∴∠AMF=∠BME=60°．