Question

如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从O，B同时出发．以每秒1个单位的速度运动．其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点M作MP⊥OA，交AC于P，连接NP，已知动点运动了x秒．
（1）P点的坐标为（______，______）（用含x的代数式表示）；
（2）试求△NPC面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的x值；
（3）设四边形OMPC的面积为S₁，四边形ABNP的面积为S₂，请你就x的取值范围讨论S₁与S₂的大小关系并说明理由；
（4）当x为何值时，△NPC是一个等腰三角形？

Answer

（1）首先根据题意得到C、M、N三点的坐标值．根据三角形中三角函数的关系，进而得到P点的坐标值．
（2）设△NPC的面积为S．在△NPC，根据（1）可知CN的长关于x的表达式，NC边上的高关于x的表达式．再利用三角形面积的计算公式求得，S关于x二次函数表达式．在x的取值范围内求该二次函数的最大值．
（3）根据梯形的面积计算公式写出S1关于x的表达式，根据S2=S△ABC-S△PCN写出关于x的关系式．再就0＜x＜4的取值，讨论S1与S2的大小关系．
（4）首先延长MP交CB于Q，则有PQ⊥BC．再分解就①若NP=CP；②若CP=CN；③若CN=NP三种情况讨论x的取值．
【解析】
（1）由题意可知，C（0，3），M（x，0），N（4-x，3），
∴点P坐标为（2分）

（2）设△NPC的面积为S，
在△NPC中，NC=4-x，NC边上的高为，其中，0≤x≤4，
∴S=（4-x）×=-（x-2）2+，
∴S的最大值为，此时x=2（3分）

（3）由图形知，S1=
S2=S△ABC-S△PCN=；
当0＜x＜2时，S1＜S2；当x=2时，S1=S2；当2＜x＜4时，S1＞S2；（3分）

（4）延长MP交CB于Q，则有PQ⊥BC．
①若NP=CP，∵PQ⊥BC，∴NQ=CQ=x．∴3x=4，∴x=．
②若CP=CN，则，CN=4-x，PQ=x，CP=x，4-x=x∴x=．
③若CN=NP，则CN=4-x．∵PQ=x，NQ=4-2x，在Rt△PNQ中，PN2=NQ2+PQ2
∴（4-x）2=（4-2x）2+（x）2，∴x=．
综上所述，x=，或x=，或x=．（3分）