Question

如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于点E，交BA的延长线于点F．
（1）求证：PC²=PE•PF；
（2）若菱形边长为8，PE=2，EF=6，求FB的长．

Answer

（1）可由相似三角形△AEP∽△FAP对应边成比例进行求解，也可由平行线分线段成比例定理进行求解，两者均可；
（2）由题中已知线段的长度，结合（1）中的结论，再由平行线分线段成比例，即可得出结论．
（1）证明：
法1：∵四边形ABCD是菱形，∴DC=DA，∠ADP=∠CDP，DC∥AB，
又∵DP是公共边，∴△DAP≌△DCP，
∴PA=PC，∠DAP=∠DCP，
由DC∥FA得，∠F=∠DCP，
∴∠F=∠DAP，又∵∠EPA=∠APF
∴△AEP∽△FAP，
∴PA2=PE•PF
∴PC2=PE•PF．
法2：∵四边形ABCD是菱形
∴DC∥AB，AD∥BC（1分）
∴，（4分）
∴
∴PC2=PE•PF．
（2）【解析】
∵PE=2，EF=6，∴PF=8，
∵PC2=PE•PF，∴PC2=16∴PC=4，
∵DC∥FB
∴，
又DC=8，∴
∴FB=16．