Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且∠FDE=90°．
（1）当DF∥AB时，连接EF，求∠DEF的余切值；
（2）当点F在线段BC上时，设AE=x，BF=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）连接CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长．

Answer

（1）先根据勾股定理求出AB的长，再由三角形的中位线定理求出DF、DE的长，由锐角三角函数的定义即可求出∠DEF的余切值；
（2）过点E作EH⊥AC于点H，由平行线的性质及等腰三角形的性质可求出HE、HD的表达式，再由相似三角形的判定定理求出△HDE∽△CFD，根据相似三角形的性质可写出y关于x的函数关系式；
（3）先分析出△DCE为等腰三角形时的两种情况，再根据题意画出图形，当DC=DE时，点F在边BC上，过点D作DG⊥AE于点G，可求出AE的长度，由AE的长可判断出F的位置，进而可求出BF的长；当ED=EC时，先判断出点F的位置，再根据相似三角形的性质及判定定理即可解答．
【解析】
（1）∵AC=BC=6，∠ACB=90°，
∴，
∵DF∥AB，，
∴，（1分）
∴，（1分）
在Rt△DEF中，；（2分）

（2）过点E作EH⊥AC于点H，设AE=x，
∵BC⊥AC，
∴EH∥BC，
∴∠AEH=∠B，
∵∠B=∠A，
∴∠AEH=∠A，，（1分）
∴，
又可证△HDE∽△CFD，
∴，（1分）
∴，
∴；（2分）

（3）∵，CD=3，
∴CE＞CD，
∴若△DCE为等腰三角形，只有DC=DE或ED=EC两种可能．（1分）
当DC=DE时，点F在边BC上，过点D作DG⊥AE于点G（如图①）
可得：，即点E在AB中点，
∴此时F与C重合，
∴BF=6；（2分）
当ED=EC时，点F在BC的延长线上，
过点E作EM⊥CD于点M，（如图②）
可证：
∵EM⊥CD，
∴△DME是直角三角形，
∵DE⊥DF，
∴∠EDM+∠FDC=90°，
∵∠FDC+∠F=90°，
∴∠F=∠EDM．
∴△DFC∽△DEM，
∴，
∴，
∴CF=1，∴BF=7，（2分）
综上所述，BF为6或7．