Question

已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，CE⊥AB于点E，交BD于点O，过点O作FG∥AB，分别交BC、AC于点F、G．
求证：（1）△COD是等腰三角形；（2）CD=GA．

Answer

（1）若要证明△COD是等腰三角形，则可以转换证∠3=∠5，现在易知∠4=∠5，所以再证明∠3=∠4即可，由条件知∠1=∠2，
∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°所以可以证明出∠3=∠4，即OC=OD，即△COD是等腰三角形．
（2）若要证明CD=GA，则可以先证明CG=DA，AD所在的三角形是ADH（过D作DH⊥AB），CG所在的三角形是GOC，所以可由已知条件证明△COG≌△DHA．再利用CG-DG=DA-DG，证得CG=AG．
证明：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∵∠BCD=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠BEO=90°，
∴∠2+∠4=90°
∴∠3=∠4，
∵∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
∴OC=DC，即△COD是等腰三角形；

（2）过点D作DH⊥AB于H，
∵BD平分∠ABC，DH⊥AB于H，DC⊥BC于C，
∴DC=DH，
∵DC=OC，
∴OC=DH，
∵FG∥AB，
∴∠6=∠A，
∴△COG≌△DHA，
∴CG=DA，
∴CG-CD=DA-DG，
即CD=AG．