Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原．
（1）当x=0时，折痕EF的长为______；当点E与点A重合时，折痕EF的长为______

Answer

（1）当x=0时，折痕EF的长正好等于矩形的长为3，当点E与点A重合时，画出符合要求的图形，得出∠DEF=∠FEP=45°，利用勾股定理得出答案．
（2）结合EF的长度得出x的取值范围，当x=2时，设PE=m，则AE=2-m，利用勾股定理得出答案．
【解析】
（1）∵纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF，
当AP=x=0时，点D与点P重合，即为A，D重合，B，C重合，那么EF=AB=CD=3；
当点E与点A重合时，
∵点D与点P重合是已知条件，
∴∠DEF=∠FEP=45°，
∴∠DFE=45°，
即：ED=DF=1，
利用勾股定理得出EF=
∴折痕EF的长为；
故答案为：3，；

（2）∵要使四边形EPFD为菱形，
∴DE=EP=FP=DF，
只有点E与点A重合时，EF最长为，此时x=1，
当EF最短时，即EF=BC，此时x=3，
∴探索出1≤x≤3
当x=2时，如图，连接DE、PF．
∵EF是折痕，
∴DE=PE，设PE=m，则AE=2-m
∵在△ADE中，∠DAE=90°，
∴AD2+AE2=DE2，即12+（2-m）2=m2
解得，此时菱形EPFD的边长为．