Question

如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上．已知OA=8，OC=6，E是AB的中点，F是BC的中点．
（1）分别写出点E、点F的坐标；
（2）过点E作ME⊥EF交x轴于点M，求点M的坐标；
（3）在线段OC上是否存在点P，使得以点P、E、F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据四边形OABC是矩形，OA=8，OC=6，E是AB的中点，F是BC的中点即可求出点E、点F的坐标；
（2）先利用相似三角形的性质求出△AEM∽△BFE，再由相似三角形的对应边成比例可求出AM的长，再根据OA=8即可求出OM的长，进而可求出M点的坐标；
（3）设P（0，n），过点P作PH⊥AB于点H，利用勾股定理可求出PF、PE、EF的长，再分PF=PE、PE=EF、PF=EF三种情况，列出方程求出n的值即可．
【解析】
（1）∵四边形OABC是矩形，OA=8，OC=6，E是AB的中点，F是BC的中点，
∴E（8，3），F（4，6）； （3分）

（2）∵ME⊥EF，
∴∠BEF+∠AEM=90°，
∵∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠AEM=∠BFE，
又∵∠EAM=∠B=90°，
∴△AEM∽△BFE，（5分）
∴，
即，
∴，（7分）
∴，
∴M（，0）；（9分）

（3）如图，设P（0，n），
过点P作PH⊥AB于点H，
在Rt△CPF中，PF2=CF2+CP2=42+（6-n）2，
在Rt△EPH中，PE2=PH2+EH2=82+（3-n）2，
在Rt△BEF中，EF2=BE2+BF2=25，
①当PE=PF时PE2=PF2，
即82+（3-n）2=42+（6-n）2，
解得（不合题意，舍去）； （10分）
②当PE=EF时PE2=EF2，
即82+（3-n）2=25，此方程无解； （11分）
③当PF=EF时PF2=EF2，
即42+（6-n）2=25，
解得n1=3，n2=9（不合题意，舍去），（12分）
综上，存在点P（0，3），此时△PEF是等腰三角形．（13分）
故答案为：E（8，3），F（4，6）； M（，0）；-、3、9．