Question

已知：如图，⊙O的半径为，弦AB=2，点D是劣弧AB上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，切点为F、G，两条切线相交于点C．
（1）求∠AOB的度数；
（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；
（3）记△ABC的面积为y，DE的长为x，试求y与x的函数关系式，并确定自变量的取值范围．

Answer

（1）由勾股定理的逆定理，易证∠AOB的度数为90°；
（2）连接AD、BD，由（1）和圆内接四边形的性质得，∠ADB=135°，根据点O是△ABC的内心，则∠ADB=90°+∠C，从而得出∠ACB为定值；
（3）在直角三角形ABC中，∠C=90度，内切圆半径DE=x，斜边长AB=2．这样容易求出面积y与x关系．
【解析】
（1）∵OA=，AB=2，
∴OA2+OB2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，
∴∠AOB=90°；

（2）连接AD、BD，
∵∠AOB=90°，
∴∠ADB=135°，
∵⊙D是△ABC的内切圆，
∴∠ADB=90°+∠C，
∴∠C=90°；

（3）设AC=b，BC=a，则有a+b=2+2x（切线长定理），
∵a2+b2=（a+b）2-2ab，
∴（2+2x）2-4y=4（勾股定理），
∴y=（x+1）2-1，
当DEO三点共线时，x最大，即x=-1，
∴自变量x的取值范围是0＜x≤-1．