Question

若x₁，x₂是关于x的方程（x-2）（x-3）=p的两个正实数根．
（1）求出p的取值范围．
（2）如果x₁，x₂是直角三角形的两直角边的长，那么p取多少时，此时直角三角形的面积最大，最大面积为多少？

Answer

（1）将原方程式化为一元二次方程的一般形式，然后根据根与系数的关系求解；
（2）根据题意，列出求直角三角形的面积代数式，然后利用（1）的p的取值范围来确定此时直角三角形的最大面积．
【解析】
（1）由原方程，得
x2-5x+6-p=0，
∵x1，x2是关于x的方程（x-2）（x-3）=p的两个正实数根，
∴x1•x2=6-p＞0，即p＜6①
△=25-4×（6-p）≥0，解得p≥-②
由①②，得
-≤p＜6；

（2）设直角三角形的面积是S．
∵x1，x2是直角三角形的两直角边的长，
∴S=x1•x2
=×（6-p）
当p取最小值时，S最大==，即S最大=．