Question

对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离不大于这个圆的半径，那么称图形A被这个圆所覆盖．例如，图中的三角形被一个圆所覆盖．回答问题：
（1）边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是多少？
（2）边长为1cm的正三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是多少？
（3）半径为1cm的圆被边长为a的正方形所覆盖，a的最小值是多少？
（4）半径为1cm的圆被边长为a的正三角形所覆盖，a的最小值是多少？

Answer

（1）边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，求圆的半径，实质上时求边长为1的正方形外接圆的半径，根据题意画出图形，连接正方形外接圆的圆心与两端点的连线，求出正方形一条边所对圆心角的度数，利用勾股定理即可求出r的值；
（2）边长为1cm的正三角形被一个半径为r的圆所覆盖，求r的最小值即求此正三角形外接圆的半径，根据题意画出图形，作出辅助线，垂径定理及锐角三角函数的定义即可解答；
（3）半径为1cm的圆被边长为a的正方形所覆盖，求a的最小值，实际上是求圆的外接正方形的边长，根据题意画出图形，根据勾股定理及正方形的性质即可求解；
（4）半径为1cm的圆被边长为a的正三角形所覆盖，a的最小值，实际上是求边长为1的圆的外切正三角形的面积，根据题意画出图形，利用锐角三角函数的定义即可求解．
【解析】
（1）如图（1）所示，
连接OB、OC，则∠BOC==90°，
∵OB=OC=r，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴OB2+OC2=BC2，即r2+r2=12，
∴r=；

（2）如图（2）所示，连接OA、OB，过O作OD⊥AB，则AD=AB=，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠AOB=2∠ACB=2×60°=120°，
∵OD⊥AB，
∴∠AOD=60°，∠OAC=30°，
∴OA=r===；

（3）如图（3）所示，连接OA、OE，则OE=r，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OAE=∠AOE=45°，
∴OE=AE=1，
∴AB=2；

（4）如图（4），连接OB，OD，
∵O是切点，
∴OD⊥BC，OD=1，BD=，
∵O是△ABC的内心，
∴∠OBD=30°，
∴OD=BD•tan∠OBD=•=1，
∴a=2．

故答案为：，，2，2．