Question

如图，以△ABC的边BC为弦，在点A的同侧画交AB于D，且∠BDC=90°+∠A，点P是上的一个动点．
（1）判定△ADC的形状，并说明理由；
（2）若∠A=70°，当点P运动到∠PBA=∠PBC=15°时，求∠ACB和∠ACP的度数．
（3）当点P在上运动时，过点P画直线MN⊥AP，分别交AB、AC于点M、N，是否存在这样的点P，使得△BMP和△BPC和△CPN彼此相似？请说明理由．

Answer

（1）根据三角形的内角和为180°与邻补角的性质，即可求得∠ACD=∠ADC，又由等角对等边，即可求得△ADC是等腰三角形；
（2）利用三角形的内角和定理，可得∠ACB=80°，根据已知即可求得∠BPC=∠BDC=125°，然后可得∠PCB与∠ACP的度数；
（3）由当点P运动至的中点时，△BMP和△BPC和△CPN彼此相似，可得∠ABP=∠CBP，即可设∠A=x度，∠ABP=∠CBP=y度，利用方程表达可得∠PCB=∠ACP，即可得到∠BMP=∠CNP=90+=∠BPC，问题得证．
【解析】
（1）∵△ADC是等腰三角形．
∵∠BDC=，
∴∠ADC=，
∴∠ACD=-∠A=，
∴∠ACD=∠ADC，
∴△ADC是等腰三角形．

（2）∵∠A=70°，∠PBA=∠PBC=15°，
∴∠ACB=180°-70°-2×15°=80°，
∵∠BPC=∠BDC=，
∴∠PCB=180°-15°-125°=40°，
∴∠ACP=∠ACB-∠PCB=80°-40°=40°．
答：∠ACB为80°，∠ACP为40°．

（3）当点P运动至的中点时，△BMP和△BPC和△CPN彼此相似．
∵P运动至的中点，
∴∠ABP=∠CBP，
设∠A=x度，∠ABP=∠CBP=y度，
∴∠PCB=180-y-（）=90-y-，
∵∠ACB=180-x-2y，
∴∠ACP=∠ACB-∠PCB=（180-x-2y）-（90-y-）=90-y-，
∴∠PCB=∠ACP，
∴PC平分∠ACB．
∴当点P运动至的中点时，点P是△ABC的角平分线的交点．
∴AP平分∠BAC．
∴∠BMP=∠CNP=90+=∠BPC，
∴△BMP和△BPC和△CPN彼此相似．