Question

图（1）是一个面积为1的黑色正三角形，顺次连接它的三边的中点，得到如图（2）所示的第2个图形（它的中间为一个白色的正三角形）；在图（2）的每个黑色的正三角形中分别重复上述的作法，得到如图（3）所示的第3个图形．如此继续作下去，则在得到的第5个图形中，所有黑色三角形的面积和是    ．

Answer

首先将所给的图②与图③中的黑色三角形的面积和求出来，注意利用相似三角形的面积比等于相似比的平方．然后得到规律：第n个图形中所有黑色三角形的面积和是：（）n-1，代入即可求得．

【解析】
∵D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，
∴，
∴△DEF∽△ABC，
∴=（）2=（）2，
∴S△DEF=，
∴图②中所有黑色三角形的面积和是：1-=，
同理：图三中各黑色三角形的面积和为：1-×3-==（）2，
∴可得第n个图形中所有黑色三角形的面积和是：（）n-1．
∴在得到的第5个图形中，所有黑色三角形的面积和是：（）4．
故答案为：（）4．