Question

如图，直角梯形OABC中，AB∥OC，其中O （0，0），A（0，），B（4，4），C（8，0），OH垂直BC于H，若OH=．
（1）求∠HOC的度数；
（2）动点P从点O出发，沿线段OH向点H运动，动点Q从点A出发，沿线段AO向点O 运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，设点P的运动时间为t秒．
①若直线QP交x轴的正半轴于点N，当t为何值时，QP=2PN；
②在P，Q的运动过程中，是否存在t值，使得△OPQ与△HOB相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）首先由三角函数，求得∠AOB的度数，由HL，可证得Rt△AOB≌Rt△HOB，即可求得∠HOC的度数；
（2）首先作辅助线：过点N与H作NK⊥x轴，即可得到相似三角形：△POQ∽△PKN，由相似三角形的对应边成比例，即可求得t的值；
（3）由相似三角形的判定，易得当QP⊥OH时，△OPQ∽△HOB，由三角函数的性质，即可求得当t=时，△OPQ与△HOB相似．
【解析】
（1）∵OA=4，AB=4，∠OAB=90°，
∴tan∠AOB=，
∴∠AOB=30°，
∵OA=OH，OB=OB，∠BAO=∠BHO=90°，
∴Rt△AOB≌Rt△HOB（HL），
∴∠BOH=∠AOB=30°，
∴∠HOC=30°；

（2）①过点N与H作NK⊥x轴，
∴NK∥OA，
∴△POQ∽△PKN，
∴当=时，
∵OQ=4-t，OP=t，
∴PK=t，NK=（4-t），
∴OK=t，
∵∠HOC=30°，
∴，
∴t=，
∴当t为时，QP=2PN；
②当QP⊥OH时，△OPQ∽△HOB．
∵∠QPO=∠OHB=90°，∠QOP=∠OBH=60°，
∴△OPQ∽△HOB，
∴cos∠QOP=，
∴t=，
∴当t=时，△OPQ与△HOB相似．
③当PQ⊥OA时，△OPQ∽△BOH，
cos∠QOP==，
解得：t=．